Fassen wir zusammen:
Der Laptop funktioniert einwandfrei, wenn der Akku der einzige Energie-Lieferant ist.
Steckt man das Netzkabel hinzu, wird von diesem zwar Strom geliefert (Akku lädt), aber der Bildschirm wird dunkel.
Was passiert, wenn einzig das Netzteil Energie-Lieferant ist, ist nach wie vor unklar. Daher nochmal: Wenn es geht, bitte den Akku einmal entfernen und im reinen Netzbetrieb testen.
Ich hab in meinem PC auch ein Netzteil mit Schutzschaltungen verbaut. Die sorgen dafür, dass sich das Teil abschaltet, wenn etwas nicht stimmt, auch wenn der benötigte Strom noch geliefert werden könnte. Der PC lässt sich dann auch nicht wieder einschalten, solang die Schutzschaltung greift. Der ganze Mechanismus soll ja verhindern, dass irgendwo Kurzschlüsse und Schäden entstehen.
Hier sieht es aber zunächst aber so aus als würde lediglich der Bildschirm kein Bild ausgeben. Allerdings finde ich das Ganze schwierig zu beurteilen, solang immer auch noch eine zweite Energie-Quelle (nicht vollständig entladener Akku) mitspielt.
Und selbst wenn er vollständig entladen wäre: Trotzdem einmal komplett ausbauen, wenn das möglich ist. Also, dass der Laptop mal zum echten Netzbetrieb "gewzungen" wird. Solang ein Akku erkannt wird, muss das Netzeil immer auch als Ladekabel für selbigen herhalten und eine gewisse Menge des geliefterten Stroms wird dafür abgedrückt.
Wenn alles läuft, der Lüfter dreht, etc. aber der Bildschrim schwarz bleibt, würde ich auch zuerst eher auf eine Unterversorgung tippen.