Hallo,
also erstmal, worum geht es denn hier für Dich bei der Kündigungsfrage? Um Anspruch auf ALG I oder ALG II? Oder kämst Du finanziell auch erstmal anders über die Runden, so dass die Absicherung Deiner Ansprüche bei Kündigung gar nicht Dein Problem ist?
Wurde zu Beginn Deines Arbeitsverhältnisses eine Probezeit festgelegt? Wenn ja, kann Dir der Arbeitgeber mit einer Frist von zwei Wochen kündigen - und umgekehrt. Einen Kündigungsschutz hast Du noch nicht, denn der gilt erst ab 6 Monaten Arbeitsverhältnis. Somit kann der AG Dir natürlich auch während Du krank bist kündigen. Dies muss er während der Probezeit auch nicht zum 15. oder zum Monatsende tun, sondern es kann quasi an jedem beliebigen Tag erfolgen. Beispiel: Kündigt Dir Dein Arbeitgeber morgen (06.06.), dann würde das Arbeitsverhältnis am 20.06. enden.
Falls Du selbst kündigen möchtest, ist Mobbing am Arbeitsplatz tatsächlich ein möglicher Grund den Du beim Arbeitsamt darlegen kannst, damit dies auf eine Sperre Deines Arbeitslosengeldes verzichtet. Hierbei wäre sicher ein Attest Deines Arztes über die psychischen Folgen unter denen Du jetzt leidest sinnvoll. Du solltest zudem so glaubwürdig und fundiert wie möglich aufzeichnen was Dir an Deinem Arbeitsplatz im einzelnen in Sachen Mobbing wiederfahren ist (Mobbing-Tagebuch), um dies als Beweis beim Arbeitsamt einreichen zu können. Ich würde Dir raten Dich JETZT direkt an das Arbeitsamt zu wenden, Dein Problem zu schildern und zu erfragen wie Du weiter vorgehen sollst, bzw. welche Unterlagen etc man von Dir dort benötigt. Bevor Du selbst die Kündigung beim Arbeitgeber einreichst! Es wäre vielleicht auch gut wenn Du versuchst die Kündigung wenigstens noch bis mitte diesen Monats hinaus zu zögern, damit Du inklusive der 14-Tage Kündigungsfrist dann zumindest das ganze Juni-Gehalt bekämst.
Viel Glück!