Ich würde dem Hausmeister den Schlüssel geben, ihm erklären, dass du krank warst, dich daher nicht adäquat um die Wohnung kümmern konntest, für die Beseitigung der Schäden aber aufkommen wirst. Er soll es (so günstig wie möglich) reparieren lassen, die Summe von der Kaution abziehen und dir den Rest der Kaution auszahlen. Bzw. falls die Reparatur mehr kostet als du Kaution hinterlegt hattest, soll er dir die Restsumme als Rechnung an deine neue Adresse schicken.
Krankheit schützt einen eben nicht davor, die Wohnung dann beschädigen zu dürfen. Das ist auch gut so. In Großstädten braucht man doch jetzt schon eine Bewerbungsmappe für den künftigen Vermieter, inklusive Lebenslauf (meist beider Partner), Einkommensnachweisen und der Schufa-Auskunft. Würde man ein Gesetz einführen, dass Vermieter bei Krankheit des Mieters auf solchen Schäden sitzen bleiben, dürftest du dieser Mappe künftig auch noch eine Auskunft von deiner Krankenkasse beilegen, von wegen was du alles schon hattest. Sind Depressionen dabei, kannst du deinen Wohnsitz dann gleich beim Obdachlosenwohnheim anmelden.
Auch Arbeitslose werden keine Chance mehr bekommen. Denn diese haben statistisch gesehen eine besonders hohe Wahrscheinlichkeit, in Depressionen zu versinken. Bekommen sie heute zumindest dann noch eine Wohnung, wenn sie sich bereit erklären, dass das Jobcenter die Miete direkt an den Vermieter überweise, werden sie künftig trotzdem keine Wohnung bekommen. Nicht, dass die die Wohnung noch vergammeln lassen und dann noch Depressionen angemeldet werden...
Es will dir hier auch keiner Vorwürfe machen, dass du dich um den Dreck nicht kümmern konntest. Aber du solltest einsehen, dass du dafür jetzt gerade stehen musst. Die Haftpflicht ist dafür nicht zuständig. Die ist für kurzfristige Versehensschäden da. Wenn dir z.B. etwas schweres herunterfällt und mehrere Fliesen zerdeppert. Wenn du die Duschwand aus Plexiglas mit Glasreiniger putzt und die jetzt irgendwie nicht mehr so ganz durchsichtig ist. Oder du beim Streichen den Farbeimer versehentlich umstößt und sich die Farbe über den halben Parkett verteilt.
Eventuell hätte sie gezahlt, wenn das Kaninchen normal im Käfig lebt, es aber EINMAL entwischt ist und dabei die Wände angenagt hat. Aber nicht, wenn das ein Dauerzustand ist. Du hast schon eine Mitwirkungspflicht, dass solche Schäden nach Möglichkeit nicht entstehen. Spätestens nach den ersten Nagespuren hätte das Kaninchen also im Käfig weiterleben müssen und nur noch unter kompletter Aufsicht raus dürfen.
Kümmere dich also einfach darum, zahle das Lehrgeld und alles ist wieder gut.