Mündliche Stellenzusagen allein sind nicht zu trauen.
Ich hatte mal vor Jahren auch eine mündliche Zusage gehabt. Was ist passiert? Ich wartete und wartete, fragte nach, wurde Woche für Woche vertröstet und irgendwann wurde ich sogar weggedrückt, sobald ich auch nur den Mund aufgemacht habe und habe bis Heute nie mehr was von ihnen gehört.
Keine Ahnung weshalb sie sich umschieden hat, aber wenn ein Betrieb nicht mal die Eier hat, nach Wochen und Monaten glasklar zu sagen "Sorry, wir können sie doch nicht einstellen!", kann mich am ***** lecken.
Bei mir ist zwar "nur" ein mündlicher Arbeitsvertrag, obwohl ich ursprünglich auch einen schriftlichen bekommen sollte, aber da ich aktiv arbeite, angemeldet wurde, meine Stunden eintrage und sogar Lohn bekomme, ist die Gesetzeslage sogar auf meiner Seite.
Ich würde von daher nachfragen, aber mich auch darauf einstellen weiter umzuschauen.