Also erst mal grundsätzlich: es ist wichtig, dass du ausziehst. Die Bedingungen für die Größe/Preis einer Sozialwohnung, die du über ALG II bekommen könntest, weichen natürlich von den jeweiligen Städten ab.
Die bekommst du aber nur, wenn du dich an das jeweilige Arbeitsamt wendest. Ich gehe jetzt mal davon aus, dass du bis jetzt noch nicht ausgezogen bist?
Hast du Alg II, bist du auch krankenversichert. PZR wird dir was zugezahlt, je nach Krankenkasse, Füllungen usw. die nötig sind zahlt normalerweise die Krankenkasse.
Du solltest wahrscheinlich für dich Prioritäten setzen. Was ist am Wichtigsten? Ich gehe mal davon aus, eine Berufsausbildung. Es gibt Förderungen, das musst du dann mit dem Arbeitsamt usw. absprechen. In der Stadt, in der du wohnen willst!
Ich verstehe, dass du die Hormontherapien machen willst oder musst, aber die Finanzierung muss auch erst geklärt sein. Und ob das mit Hartz IV möglich ist, wage ich zu bezweifeln.
Es wird kein Weg daran vorbeiführen, dass du im jeweiligen Jobcenter deiner Stadt, in der du dann gemeldet bist, vorstellig wirst und deine Situation erläuterst.
Ich würde das an deiner Stelle so handhaben: such dir eine Ausbildung, erkundige dich nach Ausbildungsgehalt oder einer Förderung. Dann hast du was in der Hand. Du siehst das alles verständlicherweise sehr negativ, was du alles nicht machen kannst. Versuche das zielgerichteter zu sehen. Du hast doch in deiner Heimatstadt alles richtig gemacht. Dort wurde dir gesagt, was dir zusteht in deiner Situation. Die gingen natürlich davon aus, dass du nicht umziehen möchtest.
Dann solltest du das auch in Köln so machen. Suche dir Ansprechpartner, mach dir einen Plan, such dir eine Ausbildung. Du brauchst einen konkreten Plan, aber da musst du dich dahinter klemmen.
Alles Gute!