Ich würde auch eine aufeinander folgende Wohnsitznahme anstreben.
Die entsprechende Ummeldung sagt dann aus, dass Du am Vortag in der alten Wohnung gewohnt hast und am nächsten Tag in der neuen. Die neue Wohnung wird bis dahin bezugsfertig gemacht, kann also vorher nicht bezogen werden, weil sie nicht fertig ist.
Damit hat es sich auch erledigt, dass der Rundfunkanstalt für einen Tag zwei Wohnungen laut Anmeldung gemeldet sind, was zu zwei Gebühren führen müsste.
Ausserdem hat es sich erledigt, dass die Stadt mit der angespannten Wohnsituation (vielleicht?) Zweitwohnsitzsteuer erhebt.
Die Kündigung dem alten Vermieter gegenüber bedarf einer Kündigungsfrist. Zwar kannst Du eine Wohnung mieten, musst Dich aber dort nicht aufhalten. Ebenso kann die Wohnung auch nicht mehr bezugsbereit sein, weil die Möbel fehlen.
Miete müsstest Du ab Auszug bis Ende der Kündigungsfrist aber dann bezahlen, wenn Du vor dem Eintritt des letzten "Wohn-Tages" mit dem Vermieter keinen vorzeitigen Aufhebungsvertrag gemacht hast.
Die Kündigung ist ja Deine einseitige Willenserklärng, das Mietverhältnis zu beenden.
Ist der Vermieter aber ebenfalls gewillt ( weil er einen neuen Mieter hat, der vielleicht abspringt), so ist dies der Zeitpunkt der Einigung , also die beidseitige Aufhebung.
Zum Mietende hin solltest Du die Zählerstände dokumentieren und ggf eine Zwischenablesung der Heizkostenabrechnungsfirma veranlassen.
Ausserdem solltest Du mindestens 100e Fotos von jeder Ecke und jedem Winkel machen - und dazu einen Zeugen dabei haben. Falls erst danach Schäden auftreten, wären es nicht mehr Deine Schäden. Die Dokumentation musst Du so lange verwahren, wie der Alt-Vermieter noch unverjährte Ansprüche geltend machen könnte!