Hallo Paula,
schonmal daran gedacht das der Vater das Kind an seinem Wohnort angemeldet hat, damit er z.B. Kindergeld oder andere Sachen beantragen kann? (und das steht ihm doch auch zu)
Das Kind wohnt halt (vorest zumindest) beim Vater, damit muss man sich einfach abfinden. Sollte das Kind zurück zur Mutter gehen, dann meldet sie das Kind halt wieder bei sich an, also wo ist das Problem?
Das Deine Freundin dagegen klagen kann wurde hier schon erwähnt, aber das will sie wohl nicht? Und mal ehrlich was würde das auch bringen?