Zunächst hast Du hier den Gesetzestext, der im Grunde besagt, was Du schon ausgeführt hast. Du müsstest einordnen, unter welchen Absatz Du fällst. Wenn Du das Sorgerecht nach Abs. 2 so oder so alleine hattest, so zählt das Prinzip des Kindeswohls. Das Gericht untersucht dann schon, ob überhaupt Kontakt zu dem Kindsvater bestand und wo eine engere Bindung bestand. Gegebenenfalls zu Deinem Lebenspartner. Übertragen, kann man das Sorgerecht nicht. Aber Du kannst generell testieren, was Du willst.
Das Gericht ist dann ggf. bei Testamentsauslegung verpflichtet, Deinen Willen zumindest zu berücksichtigen.
Also hier erstmal der Gesetzestext und daran anschließend habe ich Dir ein Beispiel geschrieben, das Du in Dein Testament schreiben könntest.
Beachte, dass Deinen Lebenspartner, kein gesetzliches Erbrecht trifft. Du solltest diesbezüglich einen Anwalt aufsuchen. Denn sowohl mein Rat hier, als auch jeder andere im Internet, kann für Dich nicht rechtsverbindlich sein:
§ 1680 Tod eines Elternteils oder Entziehung des Sorgerechts
(1) Stand die elterliche Sorge den Eltern gemeinsam zu und ist ein Elternteil gestorben, so steht die elterliche Sorge dem überlebenden Elternteil zu.
(2) 1Ist ein Elternteil, dem die elterliche Sorge gemäß § 1671 oder § 1672 Abs. 1 allein zustand, gestorben, so hat das Familiengericht die elterliche Sorge dem überlebenden Elternteil zu übertragen, wenn dies dem Wohl des Kindes nicht widerspricht. 2Stand die elterliche Sorge der Mutter gemäß § 1626a Abs. 2 allein zu, so hat das Familiengericht die elterliche Sorge dem Vater zu übertragen, wenn dies dem Wohl des Kindes dient.
(3) Absatz 1 und Absatz 2 Satz 2 gelten entsprechend, soweit einem Elternteil, dem die elterliche Sorge gemeinsam mit dem anderen Elternteil oder gemäß § 1626a Abs. 2 allein zustand, die elterliche Sorge entzogen wird.
Nicht übersehen sollten neben Erbeinsetzungen und Vermächtnissen auch weitere Verfügungen wie z. B. die (vorsorgliche) Benennung des Partners als Vormund für ein Kind (§ 1777 Abs. 3 BGB), der Ausschluss der Eltern oder des anderen Elternteils von der Vermögensverwaltung für ein Kind und die Benennung eines Ergänzungspflegers (§§ 1638, 1917 BGB) sowie Anordnungen über die Vermögensverwaltung für einen überlebenden Elternteil (§ 1639 BGB).
Formulierungsvorschlag (in der Form einer Verfügung von Todes wegen):
Falls mein Kind . . . . . ., geb. am . . . . . ., bei meinem Ableben noch minderjährig ist, benenne ich für den Fall, dass der Vater/die Mutter nicht das Sorgerecht erhält, . . . . . . zum Vormund. Sollte dessen Benennung zum Vormund nicht möglich sein, schließe ich jedenfalls den anderen Elternteil von der Verwaltung des Vermögens, welches mein Kind . . . . . . von mir von Todes wegen erwirbt, aus und benenne als Ergänzungspfleger in Ansehung dieses Vermögens . . . . . .
ODER
Soweit Kinder von mir zum Zeitpunkt meines Todes noch minderjährig sind, bestimme ich, dass mein geschiedener Ehegatte XY das von Todes wegen erworbene Vermögen der Kinder nicht verwalten soll.
Zum Pfleger berufe ich (meinen Bruder ......, ersatzweise meine Nichte ......meinen Lebensgefährten) Für den Pfleger gelten die in §§ 1852 bis 1854 BGB bezeichneten Befreiungen.
