Zur Wohnungssuche würdest du doch aber schon in die neue Stadt ziehen, oder?
Also in ein Gästezimmer oder eine Jugendherberge oder so... von ferne geht das ja sonst gar nicht, wegen Wohnungsbesichtigungen und der Erkundung der Umgebung und Besuchen bei Vermietungsgesellschaften etc.
Insofern wärest du ja schon vor Ort und könntest auch schon mit der Arbeit anfangen. Dein Arbeitgeber hätte sicher Verständnis dafür, dass du dann die erste Zeit eben nicht im gebügelten Anzug erscheinst und nachmittags pünktlich los musst.
Vielleicht bin ich ja blind, aber ich seh das Problem nicht?
Du hast keinen Job momentan, also brauchst du auf keine Kündigungsfristen Rücksicht nehmen. Du könntest morgen die Sachen packen und los... also: "kurzfristig/zum nächsten Ersten/... verfügbar".