1.) Auf einem Bauernhof gibt es Kühe und Gänse. Sie haben zusammen 35 Köpfe und 94 Füsse. Gleichung aufstellen Lösung
Also 1-4 sind sich ja sehr ähnlich, daher schlage ich vor, es einmal an Aufgabe 1 vorzumachen und Du machst die anderen Aufgaben selbst zur Übung. Wenn Du nicht weiterkommst, kannst Du ja hier Deine Ansätze aufschreiben und nochmal nachfragen.
1) Auf einem Bauernhof gibt es Kühe und Gänse. Sie haben zusammen 35 Köpfe und 94 Füsse.
Lösung:
Gesucht:
x := Anzahl der Kühe
y := Anzahl der Gänse
2 Unbekannte, wir brauchen also 2 Gleichungen, um eine Lösung zu finden.
Gegeben:
Kühe haben jeweils vier "Füße" und einen Kopf.
Gänse haben jeweils zwei "Füße" und einen Kopf.
Es gibt also, da jedes Tier nur einen Kopf hat, insgesamt 35 Tiere auf dem Bauernhof.
G1) x + y = 35
Zusammen haben alle Tiere 94 Füsse, allerdings haben Kühe davon 4 und Gänse 2.
G2) 4x + 2y = 94
Wir haben nun ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen gefunden und lösen es mit dem Einsetzungsverfahren, da sich die erste Gleichung leicht nach x umstellen lässt.
G1) x + y = 35
G2) 4x + 2y = 94
Umformen von G1 nach x
x + y = 35 | -y
G1') x = 35 -y
und nun G1' in G2 einsetzen:
4x + 2y = 94
4(35 -y) + 2y = 94
Klammer auflösen
4(35 -y) + 2y = 94
140 - 4y + 2y = 94
140 - 2y = 94 | +2y
140 = 94 +2y | -94
140 -94 = 2y
46 = 2y
2y = 46 | :2
y = 23
Gefundenes y in G1' einsetzen (das haben wir ja schon nach x umgestellt)
x = 35 -y
x = 35 -23
x = 12
Es gibt als 12 Kühe und 23 Gänse auf dem Bauernhof.
Probe:
12 Kühe und 23 Gänse haben zusammen 35 Köpfe.
12 Kühe haben zusammen 12x4 = 48 Füße
23 Gänse haben zusammen 23x2 = 46 Füße
Alle Tiere haben also zusammen 48+46= 94 Füße.
5.) Amerika: 86 Fahrenheit=30 Grad Celsius
122 Fahrenheit=50 Grad Celsius
Vielfache Celsius zu best. Betrag addieren! Umrechnungsformel?
Gesucht: Umrechnungsformel
x := Temperatur in Fahrenheit
y := Temperatur in Grad Celsius
P1(x1,y1): P1(86 F, 30°C)
P2(x2,y2): P2(122F, 50°C)
Also angenommen, es handelt sich um eine lineare Funktion, dann müsste gelten:
y = f(x) = mx + b
Unbekannt sind hier m und b
y = f(x) = mx + b
Wir kennen aber zwei Punkte der Geraden, d.h. wir könnten die Zweipunkteform der Geraden verwenden. Da ihr aber wohl gerade Gleichungssysteme behandelt, erstellen wir eben ein Gleichungssystem:
Mit P1(86 F, 30°C) und y = f(x) = mx + b
ergibt sich
G1) 30°C = m * 86F + b
Mit P2(x2,y2): P2(122F, 50°C) und y = f(x) = mx + b
ergibt sich
G2) 50°C = m*122F + b
Das gefundene Gleichungssystem lautet also
G1) 30°C = m * 86F + b
G2) 50°C = m*122F + b
Wir verwenden das Gleichsetzungsverfahren, da sich die beiden Gleichungen leicht nach b umstellen lassen.
G1) umstellen nach b
30°C = m * 86F + b | -m * 86F
G1') 30°C -m * 86F = b
G2) umstellen nach b
50°C = m*122F + b | -m*122F
G2') 50°C -m*122F = b
G1' und G2' gleichsetzen:
30°C -m * 86F = 50°C -m*122F
Jetzt können wir die Steigung m ausrechnen:
30°C -m * 86F = 50°C -m*122F | + m*122F
30°C + m*122F - m * 86F = 50°C | - 30°C
m*122F - m * 86F = 50°C - 30°C
m*122F - m * 86F = 20°C
m(122F - 86F) = 20°C
m(122F - 86F) = 20°C
m * 36F = 20°C | :36F
m = 20°C / 36F | kürzen mit 4
m = 5°C / 9F
Den gefundenen Wert für m können wir nun einsetzen in
G1') 30°C -m * 86F = b
b= 30°C -m * 86F
b= 30°C -(5°C / 9F) * 86F | F/F entfällt
b= 30°C -(5°C / 9) * 86
b= 30°C -(5°C / 9) * 86
b= 30°C -(430°C / 9) | auf HN=9 erweitern
b= 270°C/9 -(430°C / 9)
b= 270°C/9 - 430°C / 9
b= -160°C/9
Wenn man m und b einsetzt in
y = f(x) = mx + b
ergibt sich die Gleichung
y = f(x) = 5°C / 9F * x -160°C/9
Zur Probe berechnen wir die beiden Punkte noch einmal
P1(x1,y1): P1(86 F, 30°C)
y = 5°C / 9F * x -160°C/9
y = 5°C / 9F * (86 F) -160°C/9
y = 5°C / 9F * (86 F) -160°C/9
y = 430 °C / 9 - 160°C / 9
y = 270 °C / 9
y = 30 °C
P2(x2,y2): P2(122F, 50°C)
y = 5°C / 9F * x -160°C/9
y = 5°C / 9F * (122F) -160°C/9
y = 610°C / 9 -160°C/9
y = 450°C / 9
y = 50°C
Bitte nachrechnen und verstehen!
🙂 Viel Spaß!
