Eine Türkette bietet keinerlei Sicherheit, ein sanfter Tritt genügt und die Verankerung reißt aus dem Türrahmen.
Und genau darauf wird der Vermieter keine Lust haben, und wenn du ausziehst und der nächste auch wieder eine anschraubt, kann er nach 5x die Tür nebst Rahmen ausbessern oder tauschen lassen, für mehrere hundert oder tausend Euro, und das alles für das trügerische Gefühl sicherer zu sein.
Nochmal, eine Kette ist kein Schutz, selbst ein Kind kann diese überwinden.
Du hast die Wohnung bei Auszug in dem Zustand zu übergeben wie du sie vorgefunden hast, ich als Vermieter würde den beschädigten Rahmen und die Tür auf Kosten deiner Kaution reparieren bzw. austauschen lassen.
Als Mieter hast du nicht an Türen, Fensterrahmen und Fliesenspiegeln rumzubohren, jedenfalls nicht ohne vorherige Absprache mit dem Vermieter, also vorher nachfragen.